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树结构

在计算机科学中，树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

二叉树

二叉树（英语：Binary tree）是每个节点最多只有两个分支（即不存在分支度大于2的节点）的树结构。通常分支被称作“左子树”或“右子树”。二叉树的分支具有左右次序，不能随意颠倒。

二叉搜索树（Binary Search Tree）

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为O(log n)。二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、多重集、关联数组等。

1. 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
2. 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
4. 没有键值相等的节点。

java实践

1. 简单书写

ps:这里要注意一点，由于二叉搜索树要求存入的元素必须有可比性，所以我们选择继承Comparable,让泛型具有可比性。我们这里的二分搜索树是假定不允许有相同元素存在的，当然你要允许也不影响

public class BST
   
    > {    private class Node {        public E e;        public Node left, right;        public Node(E e) {            this.e = e;            left = null;            right = null;        }    }    private Node root;    private int size;    public BST(){        root = null;        size = 0;    }    public int size(){        return size;    }    public boolean isEmpty(){        return size == 0;    }}
   

2. 添加新元素

这里用到递归性要好实现一些，递归要先考虑递归的终止条件，然后再书写递归的函数。

// 向二分搜索树中添加新的元素e    public void add(E e){        if(root == null){            root = new Node(e);            size ++;        }        else            add(root, e);    }    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法    private void add(Node node, E e){        if(e.equals(node.e))            return;        else if(e.compareTo(node.e) < 0 && node.left == null){            node.left = new Node(e);            size ++;            return;        }        else if(e.compareTo(node.e) > 0 && node.right == null){            node.right = new Node(e);            size ++;            return;        }        if(e.compareTo(node.e) < 0)            add(node.left, e);        else //e.compareTo(node.e) > 0            add(node.right, e);    }

优化策略

这里我们把NUll看成一个树，就不需要管

if(root == null){            root = new Node(e);           size ++;			}

这个条件了

// 向二分搜索树中添加新的元素e    public void add(E e){        root = add(root, e);    }    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法    // 返回插入新节点后二分搜索树的根    private Node add(Node node, E e){        if(node == null){            size ++;            return new Node(e);        }        if(e.compareTo(node.e) < 0)            node.left = add(node.left, e);        else if(e.compareTo(node.e) > 0)            node.right = add(node.right, e);        return node;    }

3. 查找元素

和插入类似

// 看二分搜索树中是否包含元素e    public boolean contains(E e){        return contains(root, e);    }    // 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法    private boolean contains(Node node, E e){        if(node == null)            return false;        if(e.compareTo(node.e) == 0)            return true;        else if(e.compareTo(node.e) < 0)            return contains(node.left, e);        else // e.compareTo(node.e) > 0            return contains(node.right, e);    }

4. 遍历操作

深度优先遍历

深度优先遍历的基本思想：对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个结点只能访问一次。深度优先遍历的非递归的通用做法是采用栈。要特别注意的是，二分搜索树的深度优先遍历比较特殊，可以细分为前序遍历、中序遍历、后序遍历。1.前序遍历：先访问当前节点，再依次递归访问左右子树 ，访问到前面节点才继续 2.中序遍历：先递归访问左子树，再访问自身，再递归访问右子树，访问到中间节点才继续 3.后序遍历：先递归访问左右子树，再访问自身节点，访问到后面节点才继续

例如，对于下面的这个二分搜索树，其前序遍历结果是：28 16 13 22 30 29 42，其中序遍历结果是：13 16 22 28 29 30 42，其后序遍历结果是：13 22 16 29 42 30 28。分为前序遍历，中序遍历，后序遍历

1. 前序遍历

public void preOrder(){        preOrder(root);    }    // 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法    private void preOrder(Node node){        if(node == null)            return;        System.out.println(node.e);        preOrder(node.left);        preOrder(node.right);    }

2.中序遍历

public void inOrder(){        inOrder(root);    }    // 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法    private void inOrder(Node node){        if(node == null)            return;        inOrder(node.left);        System.out.println(node.e);        inOrder(node.right);    }

3.后序遍历

public void postOrder(){        postOrder(root);    }    // 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法    private void postOrder(Node node){        if(node == null)            return;        postOrder(node.left);        postOrder(node.right);        System.out.println(node.e);    }

1. 非递归实现前序遍历 先把root节点压入其中，再取出节点，取出节点后，我们再看该节点有无左右子树，有则压入，无则取出下一个节点，这里注意一点，由于栈是先入后出，所以这里先压右子树，再压左子树。

public void preOrderNR(){        if(root == null)            return;        Stack
   
     stack = new Stack<>();        stack.push(root);        while(!stack.isEmpty()){            Node cur = stack.pop();            System.out.println(cur.e);            if(cur.right != null)                stack.push(cur.right);            if(cur.left != null)                stack.push(cur.left);        }    }
   

广度优先遍历

深度优先遍历的基本思想：从上往下对每一层依次访问，在每一层中，从左往右（也可以从右往左）访问结点，访问完一层就进入下一层，直到没有结点可以访问为止。广度优先遍历的非递归的通用做法是采用队列。从根节点开始入队，出队后，该节点有无左右子树，有则从左到右一个个入队，然后再从队列里出队

public void levelOrder(){        if(root == null)            return;        Queue
   
     q = new LinkedList<>();        q.add(root);        while(!q.isEmpty()){            Node cur = q.remove();            System.out.println(cur.e);            if(cur.left != null)                q.add(cur.left);            if(cur.right != null)                q.add(cur.right);        }    }
   

5. 删除节点

删除节点比较麻烦，这里进行拆解

删除最大最小值

先寻找二分搜索树的最小（大）元素，看改节点左（右）子树是否为空，若为空，则为最小（大）元素

再进行删除，1，该节点无左右子树，自接进行删除 2，该节点有左（右）子树，删除后进行拼接（类似于链表删除节点的拼接）

// 寻找二分搜索树的最小元素    public E minimum(){        if(size == 0)            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");        Node minNode = minimum(root);        return minNode.e;    }    // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点    private Node minimum(Node node){        if( node.left == null )            return node;        return minimum(node.left);    }    // 寻找二分搜索树的最大元素    public E maximum(){        if(size == 0)            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");        return maximum(root).e;    }    // 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点    private Node maximum(Node node){        if( node.right == null )            return node;        return maximum(node.right);    }    // 从二分搜索树中删除最小值所在节点, 返回最小值    public E removeMin(){        E ret = minimum();        root = removeMin(root);        return ret;    }    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根    private Node removeMin(Node node){        if(node.left == null){            Node rightNode = node.right;            node.right = null;            size --;            return rightNode;        }        node.left = removeMin(node.left);        return node;    }    // 从二分搜索树中删除最大值所在节点    public E removeMax(){        E ret = maximum();        root = removeMax(root);        return ret;    }    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根    private Node removeMax(Node node){        if(node.right == null){            Node leftNode = node.left;            node.left = null;            size --;            return leftNode;        }        node.right = removeMax(node.right);        return node;    }删除任意元素

1.该节点有左（或者右）子树或者无子树为空，删除后进行拼接（类似于链表删除节点的拼接） 2.删除左右子树都有的节点，这里采用Hibbard Deletion方法。先删除该节点，对查找出该节点的左子树的最大（右子树的最小）元素（这里就可以复用上面的代码），然其代替该删除的节点

// 从二分搜索树中删除元素为e的节点    public void remove(E e){        root = remove(root, e);    }    // 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根    private Node remove(Node node, E e){        if( node == null )            return null;        if( e.compareTo(node.e) < 0 ){            node.left = remove(node.left , e);            return node;        }        else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){            node.right = remove(node.right, e);            return node;        }        else{   // e.compareTo(node.e) == 0            // 待删除节点左子树为空的情况            if(node.left == null){                Node rightNode = node.right;                node.right = null;                size --;                return rightNode;            }            // 待删除节点右子树为空的情况            if(node.right == null){                Node leftNode = node.left;                node.left = null;                size --;                return leftNode;            }            // 待删除节点左右子树均不为空的情况            // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点            // 用这个节点顶替待删除节点的位置            Node successor = minimum(node.right);            successor.right = removeMin(node.right);            successor.left = node.left;            node.left = node.right = null;            return successor;        }    }

原文：https://mp.weixin.qq.com/s/DWguYPi3Y3cBIPB7qa8Rqg作者： 原映雪来源：微信公众号

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